Ejercicios Resistencia Materiales 253o6f

1)En la armadura mostrada, la barra 3 es de dos materiales

(acero y bronce) y cada material tiene una sección transversal de 800 mm2.

Las otras barras son de acero y tienen cada una

un área de 600 mm2. Todos los pasadores tienen un diámetro de 12 mm un esfuerzo cortante isible de 100 MPa. Determine la magnitud máxima de armadura

(barras

y

P para que los elementos de la pasadores)

no

fallen

plásticamente.

Considere que los apoyos A y C no presentan horquilla y que P actúa sobre el pasador en D. Teniendo en cuenta que P debe ser máxima, considere el montaje más eficiente de las barras en los pasadores. Para el acero tome σPER = 180 MPa E=200 Gpa; y para el cobre

σPER =120 MPa y E = 100 Gpa. Tome a =

500 mm = 0,5 m.

B

1

1

3a

3

2

A

2 C D

P 4a

4a

a

Análisis estático:

B

1

1

3a

3

2

A

2 C D

P

RA 4a

Por simetría:

a

RC 4a

RA = RC = P/2

Pasador A

Σ Fx

F2

α

=0

F2 Cos α = F1Senβ F1 = F2 Cos (14.036)/Sen (45)

β

F1 = 1.372 F2

P/2

F1

Σ Fy

=0

P/2 + F2 Sen α = F1 Cos β

0

α= 14.036 β= 45 0

P/2 = 1.372 F2 Cos (45) - F2 Sen(14.036) • F2 = 0.687 P • F1 = 0.9426P Pasador B Σ Fy = 0

F1

β

β F3

F3 = 2F1Cos (45) F1

• F3 = 1.33P

Análisis de deformaciones de la barra 3:

FBR FAC

δacero =δbronce FAC L3 = FBR L3 A 200 A 100 • FAC =2FBR 1.33P = FAC + FBR 1.33P = 2FBR +FBR

δacero δbronce F3 = 1.33P

FBR =0.444 P

FAC = 0.889 P

Análisis de esfuerzos: Barra 1 y 2 Las barras 1 y 2 poseen igual área; pero la barra 1 es más crítica, ya que soporta más carga que la barra 2:

σ1 = 0.9426 P

600*10-6

< 180*106

• PMAX/1 = 114577 N Barra 3 Para el acero:

Para el bronce:

σAC= 0.889 P < 180*106 800*10-6

σBR = 0.444 P < 180*106 800*106

• PMAX/AC = 161980 N

• PMAX/BR = 216216 N

Pasadores Pasador D.

Pasador B.

Pasador A.

F3= 1.33 P

F1= 0.9426 P F2= 0.687 P

F2

F1= 0.9426 P

P/2

F1= 0.9426 P

F3= 1.333 P

F2

P

Es mas critico el pasador D, luego: 1.333 P

1.166 P FRD =1.3438

α

0.666 0.687 P

T = FRD < TPER A

1.3438 P < 100*106 (12*10-3)2* π/4

T=

• PMAX/PAS= 8421 N Es mas critico el pasador, luego: PMAX = 8421 N

2)

Las barras rígidas AB y BC Son de acero y están Apoyadas por

rotulas en A y C y unidas entre si por la rótula B. la

barra AB esta Sostenida, además, por el cable ED de acero de sección transversal de 0,5 in2. Para las cargas mostradas, determine el máximo valor de P que se puede aplicar sin peligro, y la deformación total del cable en pulgadas. Tome para el cable un σPER = 22000 psi y E =29x106 psi. y E

3 ft

C P

G 2P

T 3Ft

F

A z

4Ft

D 2Ft

B 2Ft

Análisis vectorial ÜT=

-6i + 3j – 6k 62 + 32 + 62

= -2 i +1 j – 2k 3 3 3

• T = -2T i + T j – 2T k 3 3 3 • L= 9’= 108’’

3Ft

x

Análisis estático: AX

ΣM Z = 0 2P(4) + 8P/2 =6TY 12P = 6T/3

AZ A

4 ft

Análisis de esfuerzos F = 6 PMAX = 22000 PSI 0.5

PMAX = 1822.333 Lb

δ =FL=σL AE

P/2

TX

AY

Barra BGC

A

TZ

BZ

• T = 6P

σ=

TY

2P

Barra AFB

E

δ = 22000 * 108 29*106

δ = 0.082 in

2 ft F

D

2 ft

B

3)

Una grúa de tenaza levanta troncos hasta de 4500 N. Todos los pasadores son de acero ASTM A36, con Sy = 240 MPa, y deben ser de igual diámetro. Las barras AC y BD son de un acero AST-A242, con Sy = 360 MPa, y Geométricamente son iguales.

Garantizando

determinar

un

factor

de

seguridad

Ns

=

2,

(a) El diámetro común de los pasadores, (b) La

sección transversal de los barras AC y BD.

70 mm 70 mm

70 mm

B

A

65 mm D

C

90 mm E

300

F

G

300 mm

Análisis estático α = 47.121 β = 49.398 Pasador A = pasador B

ΣFx=0 FAC Sen (α) =FAB FAB = FAC (0.733)

α

FAB

FAC

1. FAB = 1800.884 FAC N Pasador C= Pasador D α

ΣFx = 0 FCE Sen (β) = FAC Cos (α)

FAC FCE

β

FCE (0.759) = FAC (0.733) FCE =0.966 FAC 2. FCE= FDE = 2373.334 FAC N

FACy C

FACx

Barra CEG FACx= 0.733FAC FACy=0.68 FAC

E FEDx

FEDy

FEDx= 0.759 FED

ΣFX= 0 FED (0.759) – FAC (0.733) = GX

GX G 2250 N

De ecuación 2. 0.966 (0.759) FAC - FAC (0.733) = GX 3. GX =1.94*10-4 FAC

ΣM E = 0 90 FAC (0.733) +105 FAC (0.68) –GX(300)=150(2250) De 3. 65.97 FAC + 71.4 FAC -1.94*10-4 FAC (300)=337500 FAC = FBD= 2457.91 N FCE = FED = 2374.341 N FAB= 1801.138 N

Análisis de esfuerzos: Diámetro común de los pasadores: Pasador A y B

T= FAC < TPER A

α FAC

FAB

1672.491

2457.91 < 360*106/2 φ2 π/4 2

φ=

4.864 mm.

Pasador C y D

T= FAC < TPER α

A

FAC FCE

β

3217.714 < 90*106

φ2 π/4

3217.714

φ=

6.747 mm.

1. Sección transversal de los barras AC y BD.

σ =F

AC

/A = 2457.91 /A < 180*106

A=13.655 mm2

4) El movimiento del cubo de la retroexcavadora mostrado en la figura, se controla mediante dos (2) brazos y un eslabón articulado en D. Los brazos están colocados simétricamente con respecto a los planos central, vertical y longitudinal de la retroexcavadora. En la figura sólo se muestra el brazo AFJ y su cilindro de control EF. La barra GH, el eslabón simple HDB y su cilindro de control BC se encuentran localizados en el plano de

simetría.

Determinar:

(a)

El

esfuerzo

normal

en

los

elementos sometidos a carga axial, (b) si los pasadores deben ser del mismo diámetro, ¿cual debe ser su valor mínimo? Tome para los pasadores un TPER = 8000 psi. AGH = 1 in2 ABC = 1 in2 AEF =0.8 in2

Análisis estático:

ΣMJ= 0 4500

GX (24) +4500 (20)=0 G Gx J

• GX= 3750 Lb.

ΣFX =0

2Jx

2JX = GX 2Jy

JX= 3750/ 2 • JX= 1875 Lb.

ΣFY= 0 2JY= 4500 • JY = 2250 Lb. Barra GH

ΣFX =0 Gx G

28"

HX= GX

Hx

H

• Hx= 3750 Lb.

Barra BDH:

ΣMD= 0 B Bx 20"

BX (20)= HX (24) BX=1.2 HX

D Dx 24"

•

H Hx

BX=4500 Lb.

ΣFX =0 BX +HX =2DX • DX = 4125 Lb. Ay A

Brazo AFJ

Ax 32"

ΣFX=0

4125

AX= FE (0.964) + 1875

D

α =15.479º ?

FE

F 38"

ΣFY=0

1875 J

AY= FE (.267) +2250

2250 28"

10"

65"

Σ MA = 0 (1875)(80) - 4125(32) + (2250)(103)= FE (0.964)(42) –FE(0.267)(65) • FE= 10796.265 Lb. • AX= 12182.599 Lb. • AY= 5132.603 Lb. Análisis de esfuerzos 1. Esfuerzo normal en los elementos sometidos a carga axial:

σ = F/A •

σ

GH

10"

Barra GH

= 3750 /1 = 3750 PSI •

Cilindró de control BC Y EF

σ

BC =

σ

EF

4500/ 1= 4500 PSI

= 10796.265 / 0.8 = 134950.331 PSI

2. Valor mínimo de los pasadores

Pasador A es critico RA= 13219.657 Lb.

T = F/ φ2 π/4 < TPER T= 13219.657 < 8000 Psi. φ2 π/4

φ=

1.451 in

5) El sistema mostrado en la figura está formado por tres barras ABCD, BEF y EC unidas por medio de pasadores. El sistema es utilizado para levantar un peso de 50.000 N por medio de una polea de

φ= 20 cm. La barra BEF esta simplemente apoyada en

F.

Si el material de las barras y los pasadores tiene un esfuerzo de fluencia Sy = 180 Mpa, y trabaja con un factor de seguridad N = 1,5. Calcular: a) El área de la sección transversal de la barra EC. b) El diámetro de los pasadores A, B, C y E.

Análisis Estático DCL general

ΣFX= 0 AX –DX –FX= 0 AX= FX + 0.259 W

ΣFY= 0

F

Fx 20 cm E

AY=DY AY= 1.966 W

120cm

ΣM A = 0 FX(1.4) -1.966W(2.5) =0

Ay B

A

C

Ax

• FX=3.511 W

40cm

160cm

50cm

Polea D:

Dy

ΣFX= 0 DX – W COS (75) = 0

ΣFY= 0 DY – W- W Sen(75) = 0 • DY= 1.966 W

Barra ABCD:

D Dx

• AX=3.770W

• DX= 0.259W

Dy

Dx 75°

W

W

ΣMB= 0 -AY (0.4) +CY (1.6)- DY (2.1)=0 -1.966W (0.4) + CY (1.6) - 1.966W (2.1)=0 • CY= 3.07 W FCE= CY/Sen (36.87) • FCE= 5.12 W

ANALISIS DE ESFUERZOS

σ= FCE / A < σPER 5.12W/A < 180*106/1.5 A = 4.267*10-8 W (m2) A= 2.13*10-3 (m2)

6) la barra rígida ABCD esta apoyada horizontalmente por un rodillo en D y soportada por las barras deformables 1,2, 3 y 4; las cuales son de acero de área de 3cm2 y

σPER=2000

Kg/cm2, y E=2*106 Kg/cm2. Determinar a) El valor máximo de P si la carga se aplica como se muestra. b) Proponer el montaje mas adecuado del rodillo, la barra ABCD, y la barra 4, sobre el pasador D. Y determinar el diámetro de dicho pasador si

τPER=

1000Kg/cm2.

Análisis estático: Sen

α = 0.894

F1

F2

Cos α = 0.447 A

B a

F3

F4 DX

2p

D

C 2a

a

ΣFY=0 F1 + (F2+F3) Sen

α +f4 = 3P

1. F1 + 0.894 (F2+F3)+f4 = 3P

ΣMB= 0 F1 (a) +P (2a) –F3 (2a) Sen

α −F4(3a)= 0

F1 + 2P - 1.789F3 - 3F4=0 2. 1.789F3 + 3F4 - F1 = 2P

2

3

1

4

Análisis de deformaciones:

A

1

A

2

D

B

ΔA - ΔD = ΔB - ΔD 3a

3ΔA - 3ΔD = 4ΔB - 4ΔD

D

C

B a

4a

C

3

2a

a

4

3ΔA = 4ΔB -

ΔD

ΔA = δ1

ΔD = δ4

ΔB = δ2 /Sen α = 1.118 δ2 ΔC =1.118 δ3 3δ1 = 4(1.118

δ2) - δ4

3 F1 * 2a = 4.472 F2 *2.2236 a – F4 * 2a AE AE AE 6F1 = 10F2-2F4 3F1 = 5F2 –F4 3. F4 = 5F2 – 3F1

ΔA - ΔD = ΔC - ΔD 4a

a

ΔA = 4ΔC - 3ΔD δ1 = 4(1.118 δ3) - 3δ4 F1 * 2a = 4.472 F3 *2.2236 a – 3 F4 * 2a AE AE AE 2F1 = 10F3 – 6F4 4. F1 = 5F3 – 3F4 3. en 1. 5. -2F1 +5.894 F2+ 0.894F3 = 3P 3. en 4.

6. F1= 1.875 F2 -0.625 F2 6. en 5. 7. F2= 1.4P –F3 3. en 2. 8. 1.789 F3 +15F2-10F1 = 2P 6. EN 8. 9. F2= 2.144 F3- 0.533P 7. en 9. F3= 0.615 P

F2= 0.785 P

F1= 1.09 P

F4= 0.655 P

Análisis de esfuerzos: La barra 1 es crítica F1/PER=

σPER *A = 6000 Kg

F1 < F1/PER 1.09 P = 6000 PMAX= 5505 Kg F1= 6000 F2= 4321.4

F3= 3385.6

F4= 3605.78

Análisis del pasador en D: DX= (F2 - F3) Cos RD= DX2 + DY2 = RD= 3630

α = 418.6 (418.6)2 + (3605.5)2

DY = 3605

3605

418.6

DX = 418.6

La mayor fuerza aplicada en el pasador es la de la barra AD, por tanto se recomienda que esta barra se ubique en el medio del pasador y la sección crítica será por el lado de la barra 4.

τ= FY/A < τPER 3630 = 1000

πφ2/4 φ= 3630(4) 1000π φ=

2.15 cm. =22 mm.

7)

Las barras 1, 2, y 3; son de acero con E=2*106 Kg/cm2, y

σPER=

2000 Kg/cm2 determinar el máximo valor de la carga P,

que se pueda aplicar como se muestra. El área de la sección transversal para las tres barras es A= 2cm y a= 50cm. 1

3

2

a P

a

Análisis estático:

ΣMA= 0 1. 2P = 0.707F1 +F2 +1.414F3

a

Análisis de deformaciones:

ΔC

ΔB

=

2 a

a

ΔB= ΔC= δ2 =

2

1

δ1

2 ΔB = 2 δ2 = δ3 2

δ1

ΔC δ 3

F2(a) = 2 F1 2 (a) AE AE 2. F2= 2F1

δ3 =

2

45

ΔB

3

2

P

δ2

δ1

F3 2 (a) = 2 F1 2 (a) AE AE 3. F3 =2 F1 2) y 3) en 1) F1= 0.3613 P

F2=F3= 0.7226 P

Análisis de esfuerzos. Las 3 barras son del mismo material y tienen igual área, entonces la barra crítica es la más cargada; en este caso las barras 2 y 3. Por tanto:

σ = 0.7226PMAX < σPER = 2000 2 PMAX = 5535.56 Kg.

8)

En la estructura mostrada las barras 1, 2, 3, y 4 son

de

acero estructural para el cual Sy =36000 psi y E= 29000 ksi. Si A1=1in2; A2=2in2; A3=A4=3 in2; determine la magnitud máxima de la fuerza P que se puede aplicar sin peligro alguno, para un N=2.4.

2

1

4

3

Análisis estático: BARRA DEF: Por simetría:

F1

1) F1=F2

ΣFY=0

F2

D

F1 +F2=F3

E

F3

2) 2F1 = F3 BARRA ABC: Sen θ =3/5 Cos θ =4/5

F

F4 AX

F3

θ A

AY

B

C P

ΣMA= 0 3) 4F3 +1.2F4 =4P Análisis de deformaciones:

ΔC

= 2ΔB

ΔB= δ4/sen θ = 5δ4/3 ΔE - δ2 = δ1 - δ2 a/2

3 4

A

B

a

C

ΔB

ΔE = δ1 + δ2 2

D

Δ C = Δ E +δ 3

δ1

ΔC = (δ1 + δ2 ) +δ3

E

ΔE

F

δ4 ΔC δ2

2

ΔC = 10δ4 / 3 (δ1 + δ2 ) +2δ3 = 20δ4 / 3 F1 (20) + F2 (20) + 2F3 (20) = (20/3) F4 (50) 1E 2E 3E 3E 4) 2F1 +F2 + (4/3) F3= (100/9) F4 •

Resolviendo 1), 2), 3), Y 4).

F1= F2= 0.4645 P

F3=0.9289 P

F4= 0.237 P

Análisis de esfuerzos: Barra 1 crítica F1

PER=

A Sy / N =1* 15000 > 0.4645 P P= 32293 Lb

Barra 3 crítica F3 PER= 45000 LB > 0.9989 P P= 48444 Lb.

PMAX= 32293 Lb.

9) 8La barra AD esta sostenida por un pasador en A, y las barras (4) y (3) de acero. La barra (3) pende del elemento EG, el cual a su vez esta sostenido por las barras

(1) y (2)de

acero. Determine el valor de la carga máxima P que puede soportar

el

sistema;

E=2*106 Kg/cm2.

si

A1=2cm2,

A2=4cm2,

A3=A4=3cm2;

σPER=1500Kg/cm2

2

1 3

4

Análisis Estático: Barra EFG Por simetría:

F1

F2

1) F1=F2

ΣFY=0 F1 +F2=F3 2) 2F1 = F3 BARRA ABCD:

E

F

G

ΣMA= 0

A

0.6 F4 (a)+ F3 (3a)= P (2a) 1. P= 0.3 F4 + 1.5 F3 Análisis de deformaciones:

ΔG = δ2

ΔG = (ΔE +ΔG)/2 ΔG = (δ1+δ2)/2 ΔD/3a = ΔB/a a. ΔD=3ΔB

F3

θ

Cos θ =0.8

ΔE = δ1

P

F4

Sen θ =0.6

B

C

D

ΔD = ΔF+δ3 b. ΔD= (δ1+δ2)/2 + δ3 c.

ΔB= δ4/ Sen θ = δ4/ 0.6 • Reemplazando c. e a. E igualando a. y b.

(δ1+δ2)/2 + δ3 = 3δ4/ 0.6

δ1+δ2 + 2δ3=10δ4 F1(a) /2E + F2 (a)/4E + 2 F3 /3E = 12.5 F4/3E • Reemplazo F2 Y F3 2.083 F1= 4.16 F4 2. F4= 0.5 F1 F1=F2=0.317P

F3=0.635P

F4=0.159P

Análisis de esfuerzos: Barra 1 crítica

Barra 3 crítica

σ1= 0.317P/2 < 1500Kg/cm2

σ3=0.635P /3 <1500Kg/cm2

PMAX/1= 9450Kg.

PMAX/3=7087.5 Kg.

La barra crítica es 3 luego: PMAX=7087.5 Kg

10) 1En la estructura mostrada las barras 1, 2, y3, son de acero estructural pera el cual Sy= 250 Mpa, Su=460 Mpa y E=250 Gpa. Si A1=A3= 300mm2 y A2=400 mm2, determine la magnitud máxima de la fuerza P que se puede aplicar como se muestra. Asuma un factor de seguridad de 1.7 600 mm

3 2

1

4

3

4

3 A

P

Análisis Estático:

ΣFX= 0 F1 sen α = F3 sen β

F1

F2 α

β

0.6 F1 = 0.8 F3 1. F3 = 0.75 F1

ΣFY=0 P = cos α F1 + F2 + cos βF3 2. P = 0.8 F1 + F2 + 0.6F3

P

F3

1. En 2. 3. P =1.25 F1 + F2 Análisis de deformaciones: 60 cm

3

1

4

2

3

3

Tan α= ¾ = 60/AC

AC = 60(4) / 3= 80

Cos β= 80 /L3= 0.6

L3 = 133.33 cm.

Cos α = 80/L1= 0.8

L1= 100 cm.

Como

Sen α = Cos β = 3/5

Entonces:

α +β = 90

Por tanto AEA’F, es un rectángulo y A’F= δ1

δ2 = AI +IH AI= δ3 Cos β

4

IH = A’G =δ1 Cos α

δ2 = δ1 Cos α + δ3 Cos β δ2 = 0.8δ1 + 0.6δ3 F2* L2 = 0.8 F1 * L1 + 0.6 F3* L3 A1E1 A3E3 A2E2 F2(80) = 0.8 F1 (100) + 0.6 F3(133.33) 400 300 300 4. 0.75F2 = F1 + F 1. en 4. 5. F2 = 2.333F1 5. en 3. 6. P =3.583 F1 • Resolviendo: F1= 0.279 P

F2= 0.651 P

F3= 0.209 P

Análisis de esfuerzos: Si la barra 1 es critica:

Si la barra 2 es critica:

σ1= F1 / A1 < σPER

σ2= F 2/A2 < σPER

σPER = Sy/ N = 147.059*106 Pa.

0.651 P2/MAX = 147.059 *106 400*10-6

0.279 P1 = 147.059*106 300*10-6 P1/MAX= 158.13 KN.

P2/MAX = 90.36 KN.

• La barra 2 es critica PMAX= 90.36 KN

11) En la estructura mostrada la barra 1 es de acero de 3cm2 de área; la barra 2 esta compuesta por un tubo de acero de 1cm2 de área y un núcleo de aluminio de 3cm2 de área. El esfuerzo permisible basado en Sy para el acero y para el aluminio es respectivamente SPER/acero= 1000Kg/cm2; SPER/aluminio=500Kg/cm2; Eacero=2.1*106 Kg/cm2, Ealuminio=0.7*106 Kg/cm2. El acero y el aluminio de la barra 2 están firmemente unidos entre si. Determinar el máximo valor de P que se puede aplicar como se muestra. P A

60 cm

2

1

E

G

F 40 cm

40 cm

A

DCL GENERAL

DX (60) = P(80) DX= 1.33P

40 cm

P

Análisis estático:

ΣMG= 0

D

C

B

D DX

C

B

DY 60 cm

2

1

GX E

F 40 cm

G 40 cm

40 cm

GY

BARRA ABCD:

ΣFX= 0 F2 Senα = DX

P A

B

F2= 2.4 P

α

F1

F2

ΣMA= 0 F1 (3*40) = P(2*40) +F2 Cosα (40) F1= 1.333P FALU Análisis de deformaciones:

FACE

Barra 2

ΣFY=0 FACE + FALU= F2

δACERO=δALUM FACE* L = FALU * L 1(2.1*106) 3(0.7*106) FACE = FALU =1.2 P

Análisis de esfuerzos:

Fuerza permisible de cada barra. Barra 1

C

F2

D

DX DY

F1/PER=1000*3 = 3000 Kg/cm2 Barra 2 FACE/PER= 1000*1=1000 Kg/cm2 FALUM/PER= 500*3= 1500 Kg/cm2 Si la Barra 1 es crítica: F1= 1.33P =3000 PMAX/1 = 2250 Kg.

Si la Barra 2 es crítica: • Para el acero:

• Para el aluminio:

FACE= 1.2P=1000

FALU =1.2 P = 1500P

PMAX= 833.3 Kg.

PMAX= 1250 Kg.

El acero de la barra 2 es crítico; luego: PMAX= 833.3 Kg.

12) La barra rígida ABCD esta pivotada en B y soportada por las barras 1 y 2 ambas de acero de SPER= 1500Kg/cm2. A1= 2cm2, A2=3cm2; a=50 cm. Determinar PMAX. a

C

D

1

a

2

P a A

B

Análisis estático:

ΣMB= 0 F2(a)+ F1 sena (a) = Pa 1. P= 2 /2 F1 + F2

Análisis de deformaciones:

ΔD

=

ΔC

2 a

a

ΔB=

2

ΔC

ΔD =

2

δ2

ΔC= 2

2

δ2 =

δ1 2

2

δ1

a

C

a P a A

B

F1

D F2

δ2 =

2

δ1

2. F2 =3F1

2. En 1. F1= 0.2697 P

F2= 0.8092 P

Análisis de esfuerzos:

Si la Barra 1 es crítica:

Si la Barra 2 es crítica:

σ1= F1 / A1 < σPER

σ2= F2 / A2 < σPER

0.2697 P1 /2 = 1500

0.8092 P2/3 = 1500

PMAX/1= 11123.5 Kg

PMAX/2= 5561 Kg

La barra 2 es la más crítica, luego: PMAX= 5561 Kg.

13) En cierta maquina es necesario disponer de un resorte muy rígido. Se sugiere un diseño consistente en un tubo de latón de 15cm de diámetro (diámetro a la mitad del espesor del tubo), y 6mm de espesor de pared y un tubo de aluminio de 25cm de diámetro y 6mm de espesor de pared. El tubo de aluminio tiene una altura de 0.076 mm. menor que la del tubo de latón. Dibujar

con

precisión

la

grafica

de

la

función

carga-

alargamiento de este resorte hasta el máximo valor de P que puede aplicar. Para el latón el aluminio

σMAX=

σMAX=400

Kg/cm2, E= 1*106, para

800Kg/cm2 E=0.7*106

Elemento rígido 0.076 mm

1 25 cm

Laton

2

Aluminio

P

Análisis estático:

A = Π * Dm *t A1= Π *15*0.6 = 28.27 cm2

A2= Π *25*0.6= 47.12 cm2 Posición final F1 = Fza latón.

F2= Fza aluminio

ΣFY=0 1. F1 + F2 = P

P

F1

F2

Análisis de deformaciones: a) Deformación hasta cuando la placa rígida hace o con el

tubo de aluminio. P

Pi= F1

δ1 = F1*

L1 = 0.0076 cm A1 E1

F1

F1= 7.6*10-3 * 28.27 (1*106) 25 F1= 8594 Kg.= P b) Deformación hasta cuando alguno de los dos elementos falla.

Δ=

0.0076

δ1= Δ + δ2 F1 (25) = 0.0076 + F2 (25) 6 28.27 (1*10 ) 47.12 (0.7*106)

F1 = 304 + F2 28.27 33 2. F2= 1.167 F1 – 10032

2. En 1. F1= 0.4615 P + 4629

F2=0.5385 P – 4629

Análisis de esfuerzos:

Si falla el latón:

Si falla el aluminio:

F1 / A1 = σMAX

F2 / A2 = σMAX

0.4615 P + 4629 = 400

0.5385 P – 4629 = 800

28.27

47.12

PMAX/1= 14472 Kg.

PMAX/2= 72598 Kg.

Falla primero el latón: PMAX= 14472 Kg.

La deformación total del sistema al momento de falla es δ1:

δ = ε Y 1* L1 = Sy* L1/ E1 1

δ = 400(25) 1

1*106

= 0.01

La grafica P-δ tiene dos tramos el primero, cuando la placa rígida toca al tubo de aluminio (2), es decir el punto de coordenadas (0.0076; Pi). El segundo tramo, desde el punto anterior hasta cuando se alcanza PMAX, pareja de valores (0.01; PMAX).

16000 0,01; 14472

14000 12000 10000

Tramo 1

0,0076; 8594

8000

Tramo 2

6000 4000 2000 0

0; 0 0

0,005

0,01

0,015

14) La barra rígida ABC esta soportada por el cable de acero (1) de área= 1 cm2 y

σPER=

(2) de 2 cm2 de área y

2000Kg/cm2, y por la barra de acero

σPER

= 1500 Kg/cm2.

Determinar el máximo valor de la carga P que se puede aplicar como se muestra

F1

Análisis Estático:

C P

ΣMA= 0

3 60 cm

4

P (80) = F1 (60) + F2 (40) 1. 4P=3F1 +2F2

F2 A

α

40 cm

40 cm

Análisis de deformaciones: F1

1

C C

50 C’ B B

50

B’ 2

ΔC = ΔB

100

50

ΔC = 2ΔB ΔC = δ1/ Senα = 5δ1/3 ΔB= δ2/ Cosα= 5δ2/4 5δ1/3= 2 (5δ2/4)

δ1= 1.5δ2 F1 (80) = 1.5 F2 (30) 1E 2E 2. F2= 3.56 F1

Reemplazando en 1. F1= 0.3956 P

F2= 1.41 P

Análisis de esfuerzos:

Si (1) es crítica:

Si (2) es crítica:

σ1 =

σ2 =

F1 / A1 = σPER

F2 / A2 = σPER

0.3956 P/ 1 =2000

1.41 P/2= 1500

PMAX/1= 5055.611 Kg.

PMAX/2=2127.66 Kg.

La barra crítica es (2) luego: PMAX=2127.66 Kg.

15) La barra ABCD se apoya sobre el tubo de Bronce CE después

Δ=

de agotar el juego N=2; Y

ΔD.

0.01 en C. Determinar PMAX para un

Si A1= 2in2, A2=1in2, A3=0.5in2. Para el acero

E=30*106 Psi. Sy=60000 Psi; para el bronce E=15*106 Psi Y Sy=50000 Psi. A L1

P B 1

L1

Δ

E

C L1

3

2

L2

D P

Análisis Estático: RA

ΣFY=0

RA - P

1. RC= 2P - RA

1

RC 2

P

RA – P +RC

RA + RC = 2P

RA

P

Análisis de deformaciones:

δAC = δTUBO + Δ RA (10) + (RA –P) (10) = RC (10) + 0.01 6 6 6 2(30*10 ) 2(30*10 ) 0.5 (15*10 ) (RA/ (60*105)) + ((RA –P)/ (60*105)) = ((2P- RA)/ (7.5*105)) + 0.01 (RA /30) + (RA /7.5) = (2P/7.5) + (P/60) + (0.07*105) (5 RA /30) = (17P /60) +1000 2. RA= 1.7P+ 6000

RC= 2P - RA= 2P -1.7P- 6000 3. RC= 0.3P – 6000 Análisis de esfuerzos:

Barra ABCD • Tramo AB

•

Tramo CD

σ= RA /A= = σPER

σ=

(1.7P+6000) /2 = 30000

PMAX/CD=30000 Lb.

P /1 = 30000=

PMAX/AB=317.65 Lb. Tubo

σ=

RC /A= (0.3P – 6000) / 0.5 = 25000= σPER

PMAX/TUBO= 61.66 Lb. Tramo CD es crítico luego: PMAX =30000 Lb.

σPER

ΔD= 57000 (10) + 27000(10) + 30000(15) 2(30*106)

2(30*106)

ΔD=

1(30*106)

0.029 in

30000

δAD = ΔD

27000

57000

16) Un tubo de latón de 12in de largo, 1¼in de diámetro externo y área de sección transversal de 0.5in2, se coloca en una prensa ajustada de manera que sus quijadas toquen los extremos del tubo sin presionarlos ni inducir esfuerzos. Luego se aplica dos fuerzas de 42000Lb. Y 36000Lb; como se muestra. Después de aplicar las fuerzas la prensa se ajusta, disminuyendo la distancia entre quijadas en 0.01in, y además la temperatura se incrementa 50°C. Calcular: a. El máximo esfuerzo normal en el tubo. b. El desplazamiento relativo entre los puntos b y c. Para el latón: E=15*106psi; α=18*106°C-1 La prensa se considera rígida.

4 in

Análisis Estático:

ΣFX= 0

4 in B

A

42000 Lb

4 in C 36000 Lb

RA – 42000+36000 =RD 1. RD= RA –6000

RA-42000 RA

RA- 6000

D

Análisis de deformaciones:

δAD =0.01in δAD = δADP - δADT = 0.01 2. δADP=δABP + δB +δCDP

δADT = αLAD* ΔT δADT = 18*106 *12*50 δADT = 0.0108in. Reemplazando en 2. RA (4) + (RA-42000) (4) + (RA – 6000) (4) – (0.0108)= 0.01 AE AE AE 4(RA + RA – 42000 + RA – 6000) =(0.01 + 0.0108) *AE RA -16000= 13000 RA= 29000 Análisis de esfuerzos:

RD= 23000

a. EL máximo esfuerzo normal en el tubo se da en el tramo AB

σ A=

29000 /0.5= 58000 psi

b. Desplazamiento relativo entre b y c.

δBC=

13000(4) =6.933*10-3in. 0.5 (15*106)

δBC=

6.933*10-3in.