Ejercicios Resueltos Resistencia De Materiales, Columnas. 4h5n5p

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar la longitud mínima, L, de una columna con extremos articulados, que tenga un área transversal 5cm por 7,5 cm y para la cual se aplique la fórmula de Euler para columnas elásticas. Supóngase que E = 2 × 105 MPa y que el límite de proporcionalidad es 2,8 ×102 MPa. El momento de inercia mínimo de la sección 3 transversal es Imin = 7,5 x 5 = 78,125 cm4.

12

En consecuencia. r=r

min

¿

√

√

I min h 78,125 5 = = = =1 A 7,5 5 √ 12 √ 12

- Luego, utilizando la ecuación:

π2 E σ C= L ( 2) r

y despejando de ella

la relación L/r correspondiente al limite de proporcionalidad.

(

L ¿ r

2

¿

π2 E σC

¿

π 2 x 105 =7050 2,8 x 102

- Es decir:

L λ ¿ r =84

y

L=84 x 1,44=121cm

Por lo tanto si esta columna tuviera 121cm o mas de longitud se pandearía elásticamente, ya que para tales dimensiones de la columna la tensión critica en pandeo no excede al limite de proporcionalidad del material.

2. Cuatro ángulos de 100x100x10mm se unen mediante placas en celosía para formar una sección compuesta, como se indica en la figura. Aplicando las especificaciones de la AISC, con σPC=290MPa, determinar la longitud máxima que puede tener si ha de soportar una carga de 500kN. ¿Cuál debe ser la longitud libre entre ángulos, de manera que su esbeltez sea, como máximo, igual a las tres cuartas partes de la correspondiente a la sección compuesta?

P=550 kN σpc=290 MPa L= ? Para el ángulo: (de tabla) A’=1920 mm2 r’=20,4mm l’=177x106mm6 x’=28,2mm Para la sección compuesta:

I=Σ(Ii +Aidi2) ydi = s– x=125–28,2 di= 96,8mm + A= ΣAi 4(1920) = 7680 mm2

La relación de esbeltez límite es:

Asumimos: .

a) L=Le (extremos articulados)

.

b) Le/r > Cc

Entonces, aplicando:

Reemplazando valores obtenidos:

Cumple b) Le/r = 125,8 > Cc =117

I=4(1,77x106 1920x96,82) = 4(19,76x106) =4A’ =

L = Le = 125,8(101) => L=12,7 Para obtener la separación libre entre ángulos:

De donde: L’ = 94,35(30,4) = 2,8m Verificamos que el esfuerzo σmáx > σaplicado

3. Un perfil W360x134 va emplearse como columna con una longitud de 9m. La columna soporta una carga axial de 260 kN y una excentricidad de 360kN, que actúa sobre el eje Y. Determinar la excentricidad máxima de carga de 360kN usando el método del máximo esfuerzo y la fórmula lineal de la ecuación: P L =110−0,483( ) A r

4. Mediante la formula de AISC determinar la carga axial de trabajo en una columna constituida por un perfil W360 X 122 en las siguientes condiciones: a)Articulada en sus extremos y con una longitud de 9m b) Extremos perfectamente empotrados y longitud de 10m

c) Extremos perfectamente empotrados, longitud de 10m y sujeta lateralmente en el centro. Use σ pc = 380 MPa

5.

Determine la carga crítica de pandeo para cada una de las columnas usando la 6 ecuación de Euler. E=29 x 10 psi Límite proporcional = 30 000 psi. Suponga extremos simplemente apoyados y una relación de esbeltez permisible L/ r =200 Para una barra sólida cuadrada de 1.0 pulg. X 1.0 pulg. a) L = 3 pie b) L = 4 pie Solución a) L = 3 pie Pu=

π 2 EA 2 KL ( ) r

2

2

A=l =1 x 1=1 ¿ 3

I=

3

bh 1 x1 1 = = ¿4 12 12 12

KL 1 x 3 x 12 = =124.14 <200 r 0.29 Fcr =

π 2 x 29 x 106 =18.4 ksi< 30 ksi→ Rango Elástico 1 x 3 x 12 2 0.29

(

)

Carga Critica de pandeo será : Pu=F cr x A=18.4 x 1=18.4 klb .

b) L = 4 pie. Pu=

π 2 EA KL 2 ( ) r

A=l 2 =1 x 1=1 ¿2 b h3 1 x 13 1 4 I= = = ¿ 12 12 12

KL 1 x 4 x 12 = =165.52<200 r 0.29 π 2 x 29 x 106 Fcr = =8.2 ksi<30 ksi → Rango Elástico 1 x 4 x 12 2 0.29

(

)

Carga Critica de pandeo será : Pu=F cr x A=8.2 x 1=8.2 klb.

6. Calcular la carga critica, el esfuerzo crítico, la carga de trabajo y el esfuerzo de trabajo, para una columna tipo mástil, Es decir, empotrada abajo y libre arriba para las siguientes condiciones. E LP=22 Mpa

E=19 Gpa

L=4.50 m

20 cm 30cm

Cálculo de la relación de esbeltez según los materiales. δ cr =

π2 E L 2 4 r

()

√

L π2 E = r 4 δ cr

L = r

√

( mN ) =46 N 4 22 x 10 ( m)

π 2 19 x 109

2

6

2

Cálculo de la relación de esbeltez según la geometría. 2

A=30 cm x 20 cm=600 cm 1 3 4 I = ( 30 cm ) ( 20 cm ) =20 000 cm 12 L 450 cm = =78>46 r 5.77 cm

r=

√

20 000 cm 4 =5.77 cm 2 600 cm

Como 78 > 46 se clasifica la columna como COLUMNA LARGA.

Calculo del Esfuerzo crítico y el Esfuerzo de trabajo. 

Como es una columna larga o esbelta, el esfuerzo critico debe calcularse con la ecuación de Euler. 2

π E δ cr = 2 L 4 r

()

(

π 2 19 x 10 9 δ cr =

N m2

2

4 ( 78 )

) =7.7 Mpa

• Para el esfuerzo de trabajo se toma un factor de seguridad de 3. 7.7 Mpa δ u= =2.5 Mpa 3 • Calculo de la carga crítica y carga del trabajo. Pcr =

π 2 EI 4 xL2

N ( 20 000 x 10−8 m 4 ) 2 m Pcr = 2 4 x ( 4.50 m) Pcr =462 955 N=462.9 KN

(

π 2 19 x 10 9

)

Tomando el mismo Factor de seguridad. P u=

462.9 =154.3 KN 3

Laureate International Universities® FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

COLUMNAS INSTRUCTORES: - Ing. PINTO BARRANTES, Raul Antonio

PARTICIPANTES:  

ESPINOZA PONTE, Erica

CICLO:

2017 – I

Lima – Perú 2017

COLUMNAS Una columna en ingeniería estructural es un elemento estructural que transmite, a través de compresión, el peso de la estructura sobre otros elementos estructurales que se encuentran debajo. Estas pueden ser diseñadas para resistir las fuerzas laterales del viento o de los movimientos sísmicos. Las columnas son frecuentemente usadas para soportar vigas o arcos sobre los cuales las partes superiores de las paredes o techos descansan. Las primeras columnas eran construidas de piedras, sacadas de una pieza simple de roca, usualmente rotándolas sobre un aparato parecido a un torno. Otras fueron creadas de múltiples secciones de roca, pegadas con mortero o en seco. Las columnas modernas son construidas de acero, concreto vertido o prefabricado, o de ladrillo. Luego pueden ser revestidas en una cubierta arquitectónica o dejadas sin cubrir. En el presente trabajo abordaremos la clasificación y métodos para dimensionar una columna, como vimos en el párrafo anterior este elemento estructural cumple un rol fundamental en edificaciones, es por eso que este modesto trabajo va evocado para a difundir algunos conceptos y metodología de desarrollo de los mismos. Esperando que este trabajo sea del agrado del lector, así también como parte de su aprendizaje o reforzamiento de lo que a continuación se verá. Columna: La columna es un elemento sometido principalmente a compresión, por lo tanto el diseño está basado en la fuerza interna, conjuntamente debido a las condiciones propias de las columnas, también se diseñan para flexión de tal forma que la combinación así generada se denomina flexocompresión. Según el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la compresión es el principal factor que determina el comportamiento del

elemento. Es por ello que el predimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresión que se aplica sobre el elemento así como una flexión que aparece en el diseño debido a diversos factores. Cabe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a efectos de geometría, lo cuales influyen en el tipo de falla. Las columnas en este trabajo la dividiremos en: 2.1.1 Columnas Largas: Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor de 10 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se mayor igual a 100. 2.1.2 Columnas Intermedias: Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor a 10 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se encuentre entre 30 y 100. En algunos casos las columnas cortas también forman parte de esta clasificación (se dice columna corta cuando no cumple que su longitud es mayor a 10 veces la menor dimensión transversal).La diferencia entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento, las columnas largas se rompen por pandeo o flexión lateral; las intermedias, por una combinación de aplastamiento y pandeo, y las columnas cortas, por aplastamiento. 2.2 ComportamientoDentro de los requisitos fundamentales de una estructura o elemento estructural están: equilibrio, resistencia, funcionalidad y estabilidad. En una columna se puede llegar a una condición inestable antes de alcanzar la deformación máxima permitida o el esfuerzo máximo. El fenómeno de inestabilidad se refiere al pandeo lateral, el cual es una deflexión que ocurre en la columna (véase Figura 3); cuando aparece incrementa el momento flector aplicado sobre el elemento, el aumento de la deflexión agranda la magnitud del momento flector, creciendo así la curvatura de la columna hasta la falla; este caso se considera inestable. Por ello la resistencia de la columna sometida a compresión tiene dos límites, el de resistencia para columnas cortas y el de estabilidad para columnas largas (véase Figura 1). La estabilidad es así el nuevo parámetro que define además de la resistencia y la rigidez.

2.3 Carga crítica La deformación de la columna varía según ciertas magnitudes de cargas, para valores de P bajos se acorta la columna, al aumentar la magnitud cesa el acortamiento y aparece la deflexión lateral. Existe una carga límite que separa estos dos tipos de configuraciones y se conoce como carga crítica Pcr

Los factores que influyen en la magnitud de la carga crítica son la longitud de la columna, las condiciones de los extremos y la sección transversal de la columna. Estos factores se conjugan en la relación de esbeltez o coeficiente de esbeltez, el cual es el parámetro que mide la resistencia de la columna. De esta forma para aumentar la resistencia de la columna se debe buscar la sección que tenga el radio de giro más grande posible, o una longitud que sea menor, ya que de ambas formas se reduce la esbeltez y aumenta el esfuerzo crítico.

2.4 Excentricidad Cuando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga es excéntrica y genera un momento adicional que disminuye la resistencia del elemento, de igual forma, al aparecer un momento en los extremos de la columna debido a varios factores, hace que la carga no actúe en el centroide de la columna (véase Figura 4). Esta relación del momento respecto a la carga axial se puede expresar en unidades de distancia según la propiedad del momento3, la distancia se denomina excentricidad. Cuando la excentricidad es pequeña la flexión es despreciable y cuando la excentricidad es grande aumenta los efectos de flexión sobre la columna.

2.5 Longitudefectiva La longitud efectiva combina la longitud real con el factor de fijación de extremos; Lt = KL fue deducida para el caso de una columna con extremos articulados, o libres de girar. En otras palabras. L en la ecuación representa la distancia no soportada entre los puntos con momento cero. Si la columna que soportada en otras formas, la fórmula de Euler se puede usar para determinar la carga crítica, siempre que ‘L” represente la distancia entre puntos con momento cero. A esta distancia se le llama longitud efectiva de la columna, Le. Es obvio que para una columna con extremos, pero en figura (5-d). Para la columna con un extremo fijo y uno empotrado que se analizó arriba, se encontró que la curva de deflexión fue la mitad de la de una columna con sus extremos articulados, cuya longitudes 2L y así tenemos más ejemplos con sus valores de longitud efectiva.

Para calcular la longitud efectiva se usaran las siguientes relaciones: . Columnas con extremos de pasador: Le=KL= 1.0(L) = L . Columnas con extremos fijos: Le=KL = 0,65(L) . Columnas con extremos libres: L,=KL = 2.10(L) . Columnas con pasadores fijos y el otro fijo: L,=KL=0.80(L)

Fórmula de Euler para columnas largas o muy esbeltas La fórmula de Euler es válida solamente para columnas largas y calcula lo que se conoce como "carga critica de pandeo", esta es la última carga que puede soportar por columnas largas, es decir, la carga presente en el instante del colapso.La columna articulada en sus extremos, inicialmente recta homogénea, de sección transversal constante en toda su longitud se comporta elásticamente. Puede tener dos posiciones de equilibrio: recta o ligeramente deformada. Se