Geometri Transformasi Pencerminan 6e523g

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Sejak zaman Euclid ( 300 SM) sampai abad 17 M, geometri dipelajari dari perspektif syntesis, sebagai suatu ilmu. Selama abad 17 sejumlah ide baru dalam matematika dikembangkan dan diterapkan dalam mempelajari geometri, dengan efek yang bersifat revolusi. Misalnya dengan menerapkan notasi-notasi dan konsep aljabar ke feometri. Fermat ( 1601 – 16650 dan Rene Descartes (1596 – 1650) menciptakan geometri analitik. Diferensial geometri dikembangkan sebagai suatu konsep dan menggunakan notasi dari kalkulus yang dikembangkan oleh Newton dan Leibniz diaplikasikan pada gwomwtri. Alam abad 18 dan 19 , sejumolah geometri non Euclid dikebangkan, mengakibatkan beberapa orang menjadi ragu apakah geometri akan terpisah sesuai dengan teori-teori yang bersaing satu dengan yang lain. Di tahun 1782, seorang ahli matematika berusia 23 tahun, Felix Klein ( 1849 – 1925) mengusulkan suatu prinsip pemersatu untuk mengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan hubungan-hubungan diantara mereka. Inti dari gagasan atau konsep Klein itu adalah Geometri Transformasi. Geometri transformasi adalah pemetaan satu- satu, dengan menggunakan hinpunan titik-titik sebagai input dan returning points sebagai output. Untuk sederhananya, hinpunan-himpunan input dinamakan obyek dan outputnya yang bersesuaian dinamakan image. Tergantung dari konteks, transformasi-transformasi dapat dipandang sebagai diterapkan pada obyek-obyek geomeri yang umum dikenal, misalnya garis, polygon, atau polihedra ataupun pada ruang dimana obyek-obyek itu ada. Ada empat pemetaan yang dibahas dalam Geometri Transformasi yaitu Translasi (pergeseran), Rotasi (Perputaran), Refleksi (Pencerminan) dan Dilatasi (Perkalian). Dalam bab ini akan dibahas secara spesifik tentang Refleksi atau pencerminan.

1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan pemaparan di atas maka rumusan masalah yang akan dibahas pada makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Apa definisi serta sifat-sifat pencerminan (refleksi) ? Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 1

2. Bagaimana pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu y ? 3. Bagaimana pencerminan terhadap suatu garis? 4. Bagaimana pencerminan terhadap suatu titik asal?

1.3 Tujuan Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Untuk mengetahui definisi serta sifat-sifat pencerminan (refleksi). 2. Untuk mengetahui pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu y. 3. Untuk mengetahui pencerminan terhadap suatu garis. 4. Untuk mengetahui pencerminan terhadap suatu titik asal.

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 2

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Definisi dan Sifat-sifat Pencerminan A. Definisi Pencerminan Pencerminan dalam arti geometri dapat disebut juga dengan refleksi. Refleksi adalah menggambarkan pencerminan cermin suatu bangun. Pencerminan itu dapat diperoleh sebagai berikut : 1. Tentukan terlebih dahulu sumbu cerminnya atau sumbu simetri 2. Tarik garis tegak lurus pada sumbu cermin dari tiap-tiap sudut bangun (titik) yang hendak dibuat pencerminannya. 3. Jarak antara titik sudut bangunan dengan titik sudut pencerminannya harus sama terhadap sumbu simetri. Contoh : Buatlah pencerminan dari bangun berikut ini: Caranya: m

Gambar 2.1 m= sumbu cermin Garis putus-putus merupakan pencerminan dari bangun yang dimaksud. Pencerminan suatu bangun dalam bidang kartesius.

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 3

y

Bangun

C”

B

C

D”

A

D A’

D’

B’

C’

adalah pencerminan bangun

sumbu y. Bangun

x

jika dicerminkan terhadap

merupakan pencerminan

yang dicerminkan

terhadap sumbu x. Pencerminan terhadap sumbu x disimbolkan dengan X. Bangun ABCD dicerminkan terhadap sumbu x ditulis X (ABCD).

Pencerminan terhadap sumbu y disimbolkan dengan Y. Jadi Y (ABCD) merupakan pencerminan bangun ABCD terhadap sumbu y.

Pada pencerminan diperlukan sebuah garis sebagai sumbu pencerminan. Pencerminan terhadap suatu sumbu merupakan transformasi berlawanan.

B. Sifat-sifat Pencerminan Dalam transformasi geometri khususnya pencerminan terdapat beberapa sifat-sifat yang selalu ditemukan. Adapun sifat tersebut adalah sebagai berikut : 1. Jarak suatu titik terhadap cermin sama dengan jarak antara pencerminan dengan cermin. 2. Garis yang menghubungkan titik dengan pencerminannya selalu tegak lurus dengan cermin. 3. Setiap garis dan pencerminannya selalu sama panjang. 4. Setiap bangun dan pencerminannya selalu kongruen.

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 4

2.2 Pencerminan Terhadap Sumbu-x dan Sumbu – y Pencerminan terhadap sumbu-x berarti suatu pecerminan yang menggunakan sumbu- x dalam diagram kartesius sebagai cermin. Pencerminan titik A(a,b) terhadap sumbu-x menghasilkan pencerminan titik B(

) dengan

dan

. Oleh

karena itu pencerminan terhadap sumbu- x dapat dirumuskan sebagai berikut :

y b

A(a,b) x

o -b

B(a,-b)

Gambar 2.2

Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu-x adalah

, sehingga

Pencerminan terhadap sumbu-y berarti suatu pecerminan yang menggunakan sumbu- y dalam diagram kartesius sebagai cermin. Pencerminan titik A(a,b) terhadap sumbu-y menghasilkan pencerminan titik C(

) dengan

dan

. Oleh

karena itu pencerminan terhadap sumbu- y dapat dirumuskan sebagai berikut :

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 5

y C(-a,b)

b

-a

O

A(a,b) x

a

Gambar 2.3

erdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu-y adalah

, sehingga

2.3 Pencerminan Terhadap Suatu Garis x

A. Pencerminan Terhadap Garis atau Sumbu p

1. Pencerminan titik

p’

Titik P’ merupakan pencerminan dari titik P Dikatakan titik P dicerminkan terhadap gari xy (sumbu xy) Ditulis



Disingkat

y



terhadap xy

x P

P’

2. Pencerminan garis Garis

merupakan pencerminan dari garis

.

Q

Dikatakan PQ dicerminkan terhadap garis xy. Ditulis



Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Q’

y

Page 6

B. Pencerminan Terhadap Garis y=x Pencerminan titik A(a,b) terhadap garis y=x menghasilkan bayangan D a b dengn a b dan b a

y

D(b,a)

a

A(a,b)

b

x

o

Gambar 2.4

Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu-y adalah

, sehingga

C. Pencerminan Terhadap Garis y= -x Pencerminan titik A(a,b) terhadap garis y=-x menghasilkan bayangan E a b dengn a -b dan b -a. y

b o

a

A(a,b )

x

E(-b,-a) a

Gambar 2.5

y =x

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 7

Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu-y adalah

, sehingga

D. Pencerminan Terhadap Garis x=h Pencerminan titik A(a,b) terhadap garis x=h menghasilkan bayangan G a b dengn a

2h-a dan b b.

y

x=h

b A(a,b) o

a

G(2h-a,b) 2h-a

x

Gambar 2.6

Jika ditulis dengan matriks transformasi sebagai berikut:

E. Pencerminan Terhadap Garis y=k Pencerminan titik A(a,b) terhadap garis y=k menghasilkan bayangan H a b dengn a

a dan b 2k-b.

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 8

y H(a, 2k-b)

2k-b

y=k A(a,b)

b o

a

x

Gambar 2.7

Jika ditulis dengan matriks transformasi sebagai berikut:

F. Pencerminan Dua Kali Apabila suatu bangun dicerminkan terhadap sumbu AB kemudian dicerminkan lagi terhadap sumbu CD, dapat dikatakan bangun tersebut docerminkan dua kali atau dua pencerminan. Jika pencerminan terhadap AB = M1 dan pencerminan terhadap CD = M2, maka dua pencerminan itu disimbolkan dengan: M2 o M1. Dibaca : M1 diteruskan dengan M2. Dua pencerminan dapat dilakukan dengan : a. Dua sumbu sejajar b. Dua sumbu yang saling tegak lurus c. Dua sumbu berpotongan. G. Pencerminan dengan Dua Sumbu Sejajar Contoh pencerminan dengan dua sumbu sejajar ditampilkan pada gambar berikut.

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 9

y F

C A F’

(-1,2) -1

F”

(1,2) 0

(5,2)

1

2

3

B

4

5

D

Gambar 2.3 AB sejajar CD di mana CD berada pada x = 3. F’ merupakan hasil pencerminan dari F sumbu AB. Sedangkan

adalah hasil pencerminan

terhadap sumbu CD.

Titik ( - 1,2) menjadi titik (1,2) oleh pencerminan terhadap AB sehingga ditulis . Titik (1,2) menjadi titik (5,2) akibat pencerminan terhadap CD yang dapat ditulis Dengan cara pemetaan dapat ditulis sebagai berikut : atau Jadi pencerminan berturut-turut terhadap sumbu-sumbu

dan

Jarak antara AB dan CD = 3 serta arahnya merupakan arah AC (ke kanan). Apabila pencerminan terhadap AB disebut sebut M1 dan pencerminan CD disebut dengan M2, maka hasil M1 o M2 = (5,2). Simbol M1 o M2 berarti M1 diteruskan dengan M2.

H. Pencerminan dengan Sumbu Saling Tegak Lurus y

2

A(2,3) A’ (4,3)

S

1

n 1

1

2

3

4

x

A” (4,1) m

Gambar 2.4 Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 10

Sumbu m tegak lurus pada sumbu n pada x = 3 dan n tegak lurus garis m pada y = 1. Bangun O berada pada posisi titik A (2,3). Jika bangun tersebut dicerminkan terhadap sumbu m diperoleh diperoleh n

. Jika

dicerminkan terhadap sumbu n

. y

(-3,2)

x

(3,-2)

Gambar 2.5 Pada gambar 2.5 tampak bahwa pencerminan dua kali berturut-turut pada sumbu yang saling tegak lurus sama dengan setengah putaran pada pusat S. Apabila pencerminan terhadap sumbu m = M1, pencerminan terhadap sumbu n = M2 , dan pemutaran setengah putaran terhadap S disebut H, maka

Pencerminan pada dua sumbu yang saling tegak lurus berlaku hukum komutatif sebagai berikut :

Bila dipergunakan kordinat , maka pencerminan terhadap sumbu x disebut X dan pencerminan terhadap sumbu y disebut Y. Sedangkan perputaran terhadap putaran O disebut dengan H.

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 11

2.4 Pencerminan Terhadap Titik Asal Pencerminan titik A(a,b) terhadap ttik asal menghasilkan bayangan F(a’,b’) dengan a’=-a dan b’=-b.

y

b o F (-b,-a)

A(a,b) x

a

-a

Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu-y adalah

, sehingga

SOAL. 1. Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap sumbu X. a. A (4,3) b. B (10,-2) 2. Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap garis Y=X. a. A (5,2) b. B (-7,-2) 3. Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap garis Y=-X. Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 12

a. A (10,-3) b. B (-5,2) 4. Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap garis X=2. a. A (-3,4) b. B (5,-1) 5. Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap garis Y=3. a. A (3,-4) b. B (-5,1) 6. Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap titik asal O (0,0). a. A (-1,-6) b. B (2, -10) 7. Transformasi T memetakan titik P (x,y) ke titik P’ (x’y’) melalui hubungan: x’=2x-y y’=3x+2y a. Tentukan matriks tansformasi yang bersesuaian dengan persamaan itu. b. Dengan menggunakan matriks tranformasi yang di peroleh pada soal a), tentukan koordinat bayangan dari titik P (3,6).

1  1 8. Transformasi yang bersesuian dengan matriks   memetakan titik P (x,y) ke 2 3  titik P’ (1,7). Tentukan nilai x dan y.

a b  9. Transformasi yang bersesuaian dengan matriks   memetakan titik P (3,2) ke c d  titik P’(3,7) dan titik Q (1,1) ke titik Q’ (1,4). Tentukan nilai dari a, b, c, dan d. 10. Tentukan koordinat bayangan dari titik P (1,-3) bila dilakukan refleksi terhadap sumbu X lalu di refleksi lagi terhadap garis X=-2.

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 13

BAB III PENUTUP

3.1 Simpulan Refleksi adalah menggambarkan pencerminan cermin suatu bangun yang memiliki sifat yaitu jarak suatu titik terhadap cermin sama dengan jarak antara pencerminan dengan cermin, garis yang menghubungkan titik dengan pencerminannya selalu tegak lurus dengan cermin, setiap garis dan pencerminannya selalu sama panjang, dan setiap bangun dan pencerminannya selalu kongruen. Beberapa jenis pencerminan yaitu pencerminan terhadap suatu titik asal, pencerminan terhadap sumbu-x, pencerminan terhadap sumbu y, pencerminan terhadap garis y=x, pencerminan terhadap garis y=-x, dan pencerminan terhadap garis x = h dan y = k. Berikut merupakan beberapa matriks yang digunakan pada beberapa pencerminan. a. Untuk Refleksi A (x, y) terhadap sumbu X menghasilkan

(

) dengan matriks

berikut:

b. Jika sumbu y sebagai cermin maka dihasilkan

(

)

dengan matriks berikut :

c. Jika garis y = k sebagai cermin maka dihasilkan

(

) dengan matriks :

d. Jika garis y = x sebagai cermin maka dihasilkan

(

) dengan matriks berikut :

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 14

e. Jika garis y = -x sebagai cermin maka dihasilkan

(

)

dengan matriks

berikut :

f. Jika garis x = a sebagai cermin dihasilkan

(

)

dengan matriks berikut :

g. Jika titik asal O0,0 sebagai cermin dihasilkan A' x' , y' dengan matriks berikut:

3.2 Saran Dalam

pokok

bahasan

geometri

khususnya

pencerminan

atau

refleksi

membutuhkan pemahaman siswa terlebih dahulu mengenai penggunaan diagram kartesius. Pada pokok bahasan pencerminan diagram kartesius merupakan media utama untuk menjelaskan sifat-sifat suatu pencerminan. Oleh sebab itu diharapkan pembelajaran awal mengenai tata letak koordinat pada diagram kartesius serta teknik pembelajaran yang tepat agar penyampaian materi pencerminan lebih mudah diterima oleh siswa. Adapun makalah ini diharapkan mampu menjadi masukan untuk pembuatan makalah serupa yang lebih baik.

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 15

DAFTAR PUSTAKA

Tamrin. 2003. Rahasia Penerapan Rumus – rumus Matematika SMU. Gitamedia Press: Surabaya. Negoro, S.T & B.Harahap. 1998. Ensiklopedia Matematika. Ghalia Indonesia. Yohanes, S. 2008. Mahir Matematika SMP. Kendi Mas Media: Jakarta. Wirodikromo,Sartono.2006.Matematika

untuk

SMA

Kelas

XII

Program

Ilmu

Alam.Erlangga:Jakarta.

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012

Page 16